Question

设点F（

p

2

，0）（p为正常数），点M在x轴的负半轴上，点P在y轴上，且

MP

=

PN

，

PM

⊥

PF

．
（Ⅰ）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
（Ⅱ）直线l过点F且与曲线C相交于不同两点A，B，分别过点A，B作直线l₁：x=-

p

2

的垂线，对应的垂足分别为A₁，B₁，求

FA1

•

FB1

的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记S1=S△FAA1，S2=S△FA1B1，S3=S△FBB1，λ=

S22

S1•S3

，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）设N（x，y），M（a，0），（a＞0），P（0，b），由

MP

=

PN

可得，x=-a，y=2b，由

PM

⊥

PF

可得

PM

•

PF

=

pa

2

+b2=0，从而可求x，y满足的方程
（2）由抛物线的定义可得AF=AA₁，BF=BB₁，AA₁∥MF∥BB₁
从而有∠AFA₁=∠AA₁F=∠MFA₁，∠BFB₁=∠BB₁F=∠MFB₁
则有∠AFA₁=∠AA₁F=∠MFA₁，∠BFB₁=∠BB₁F=∠MFB₁
∠A₁FB₁=∠B₁FM+∠MFA₁=

1

2

∠AFM+

1

2

∠BFM=90°
（3）设直线AB的方程为：x=ky+

p

2

  A（x₁，y₁） B（x₂，y₂）
联立方程

y2=2px x=ky+ p 2

整理可得y²-2pky-p²=0
则y₁+y₂=2pk，y₁y₂=-p²    x1x2=

y 2 1 y 2 2

2p•2p

=

p2

4

  x₁+x₂=k（y₁+y₂）+p=2pk²+p
λ=

S22

S1•S3

=

( 1 2 A1B1• FM) 2

( 1 2 AA1•MA1)( 1 2 BB1•MB1)

代入整理可求

解答：解：（1）设N（x，y），M（a，0），（a＞0），P（0，b）
由

MP

=

PN

可得，x=-a，y=2b①
由

PM

⊥

PF

可得

PM

•

PF

=

pa

2

+b2=0②
①②联立可得y²=2px（p＞0）
（2）由抛物线的定义可得AF=AA₁，BF=BB₁，AA₁∥MF∥BB₁
∴∠AFA₁=∠AA₁F=∠MFA₁，∠BFB₁=∠BB₁F=∠MFB₁
∴∠A₁FB₁=∠B₁FM+∠MFA₁=

1

2

∠AFM+

1

2

∠BFM=90°
即FA₁⊥FB₁∴

FA1

•

FB1

=0
（3）设直线AB的方程为：x=ky+

p

2

  A（x₁，y₁） B（x₂，y₂）
联立方程

y2=2px x=ky+ p 2

整理可得y²-2pky-p²=0
则y₁+y₂=2pk，y₁y₂=-p²    x1x2=

y 2 1 y 2 2

2p•2p

=

p2

4

  x₁+x₂=k（y₁+y₂）+p=2pk²+p
λ=

S22

S1•S3

=

( 1 2 A1B1• FM) 2

( 1 2 AA1•MA1)( 1 2 BB1•MB1)

=

p2(y1-y2)2

(x1+ p 2 )(x2+ p 2 )(-y1y2)

=

( y1+y2)2-4y1y2

p2(1+k2)2

=

4p2k2 +4p2

p2k2+p2

=4

点评：本题以平面向量向量的基本运算为载体，重点考查了抛物线的性质的应用，直线与抛物线的位置关系等知识的综合运用，解决本题（2）的关键是要熟练掌握抛物线的定义发现AF=AA₁，BF=BB₁，解决（3）时要注意设直线方程时为了避免讨论斜率k的值是否存在，故可设直线AB的方程为：x=ky+

p

2