题目内容

已知函数，f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（1 ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总存在极值？
解：（1） ，
当a=1时，
令导数大于0，可解得0＜x＜1，
令导数小于0，可解得x＜0（舍）或x＞1
故函数的单调增区间为（0，1），单调减区间是（1，+∞）
（2） 得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g'（0）=﹣2
∴，
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g'（t）＜0恒成立，
所以有：，
∴．
练习册系列答案
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已知函数y=f（x）的反函数．定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f-1（x+a）互为反函数，则称y=f（x）满足“a和性质”；若函数y=f（ax）与y=f-1（ax）互为反函数，则称y=f（x）满足“a积性质”．
（1）判断函数g（x）=x2+1（x＞0）是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3）设函数y=f（x）（x＞0）对任何a＞0，满足“a积性质”．求y=f（x）的表达式．
17、已知函数y=f（x）和y=g（x）在[-2，2]的图象如图所示，则方程f[g（x）]=0有且仅有
6
个根；方程f[f（x）]=0有且仅有
5
个根．
（2012•上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（
1
2
，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为
5
4
5
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．
已知函数y=f（x），x∈R，有下列4个命题：
①若f（1+2x）=f（1-2x），则y=f（x）的图象关于直线x=1对称；
②y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称；
③若y=f（x）为偶函数，且y=f（2+x）=-f（x），则y=f（x）的图象关于直线x=2对称；
④若y=f（x）为奇函数，且f（x）=f（-x-2），则y=f（x）的图象关于直线x=1对称．
其中正确命题的个数为（　　）
已知函数y=f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+1．设f（x）的反函数是y=g（x），则g（-28）=
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