Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为点，左、右顶点分别为，长轴长为，椭圆上任意一点（不与重合）与连线的斜率乘积均为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，过点的直线与椭圆交于两点，过点的直线与椭圆交于两点，且，试问：四边形可否为菱形？并请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不是.

【解析】

（1）由长轴长为可得，然后结合求得的值，从而得到椭圆方程；

（2）根据以及椭圆的对称性可得为平行四边形，其对角线交点为原点，设出直线的方程为与椭圆方程联立，由韦达定理可得，，故要使四边形为菱形，则，利用向量表示出，整理可得，解方程则可得到答案。

（1）由题意，，则，。设，则点与点连线的斜率为，点与点连线的斜率为，故，又因为点在椭圆上，故有，联立解得，

则椭圆的方程为.

（2）由于点关于原点对称且，故关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以四边形为平行四边形；由（1），知，易知直线不能平行于轴.所以令直线的方程为，设，.联立方程，得，所以，.若是菱形，则，即，于是有，整理得到，即，上述关于的方程显然没有实数解，故四边形不可能是菱形.