Question

设坐标原点为O，抛物线y²=2x与过焦点的直线交于A，B两点，则=    ．

Answer 1

【答案】分析：法一：根据抛物线的标准方程，求出焦点F（ ，0 ），当AB的斜率不存在时，可得A（ ，1），B（ ，-1），求得  的值，结合填空题的特点，得出结论．
法二：由抛物线y²=2x与过其焦点（，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点坐标，=x₁•x₂+y₁•y₂，由韦达定理可以求得答案．
解答：解：法一：抛物线y²=2x的焦点F（ ，0 ），
当AB的斜率不存在时，可得A（ ，1），B（ ，-1），
∴=（ ，1）•（ ，-1）=-1=-，
法二：由题意知，抛物线y²=2x的焦点坐标为（，0），∴直线AB的方程为y=k（x-），
由 得k²x²-（k²+2）x+k²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则 ，y₁•y₂=k（x₁-）•k（x₂-）=k²[x₁•x₂-（x₁+x₂）+]
∴=x₁•x₂+y₁•y₂=，
故答案为：-．
点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，两个向量的数量积公式，通过给变量取特殊值，检验所给的选项，是一种简单有效的方法．