Question

【题目】在四面体中，，，平面，，分别为线段，的中点，现将四面体以为轴旋转，则线段在平面内投影长度的取值范围是__________.

Answer 1

【答案】

【解析】

取中点为，中点为，连接、、、，利用三角形的中位线得，，根据等腰三角形的性质和线面垂直的判定定理，可证出平面，进而得出，，当四面体绕旋转时，与的垂直性保持不变，当与平面垂直时，在平面上的射影的长取得最小值，当与平面平行时，在平面上的射影的长取得最大值，由此即可得出结果．

解：如图，取中点为，中点为，连接、、、，

，分别是线段和的中点，

，，

由于，，

，，

则，且，平面，

平面，又平面，

，，

在中，，

当四面体绕旋转时，

，平面，平面，

平面，与的垂直性保持不变，且，长度不变，

当与平面垂直时，在平面上的射影长最短为0，

此时在平面上的射影的长取得最小值为，

当与平面平行时，在平面上的射影长最长为：，

此时在平面上的射影的长取得最大值为，

线段在平面上的射影长的取值范围是.

故答案为：.