Question

如图已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，SA⊥底面ABCD，且SA=AD=DC=是SB的中点．
（1）证明：平面SAD⊥平面SCD；
（2）求AC与SB所成的角；
（3）求二面角M-AC-B的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用面面垂直的性质，证明CD⊥平面SAD．
（2）AC中点O，SC中点E，AB中点F，BC中点G，∠EGF是AC、SB所成的角（或补角），△EGF中，使用余弦定理求∠EGF的大小．
（3）根据三垂线定理可得，∠MOF就是二面角M-AC-B的平面角，解直角三角形求此角的大小．
解答：解：（1）由已知可得：SA⊥CD，CD⊥AD∴CD⊥平面SAD，（2分）
而CD⊆SCD，∴平面SAD⊥平面SCD（3分）
（2）设AC中点O，SC中点E，AB中点F，
BC中点G，连接OE、OF、EF、EG、FG
EG∥SB，FG∥AC，∠EGF是AC、SB所成的角（或补角）（5分）
∴
又∵
∴（7分）
∴AC与SB所成的角为（8分）
（3）连接MO，根据三垂线定理可得：MO⊥AC，MF⊥面ABCD，OF⊥AC
∴∠MOF就是二面角M-AC-B的平面角（10分）

∴F二面角M-AC-B的大小为（12分）
点评：本题考查证明面面垂直的方法，求线线角即二面角的方法，关键是进行等价转化．