Question

设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1],使f(f(b))=b成立,则a的取值范围是(　　)

A.[1,e]                 B.[1,1+e]

C.[e,1+e]               D.[0,1]

Answer 1

A.若存在b∈[0,1],使f(f(b))=b成立,则A(b,f(b)),A′(f(b),

b)都在y=f(x)的图象上,又f(x)=在[0,1]上单调递增,所以

(x_A′-x_A)(y_A′-y_A)≥0,即(f(b)-b)(b-f(b))≥0,

所以(f(b)-b)²≤0,所以f(b)=b,

所以f(x)=x在[0,1]上有解,

即=x在[0,1]上有解,

所以a=e^x+x-x²,x∈[0,1],

令φ(x)=e^x+x-x²,x∈[0,1],

则φ′(x)=e^x+1-2x>0,x∈[0,1],

所以φ(x)在[0,1]上单调递增,又φ(0)=1,φ(1)=e,

所以φ(x)的值域为[1,e],即a∈[1,e].