Question

9．下列命题为真命题的有①②（填上所有真命题的序号）
①若数列{a_n}满足a_n+1=2a_n（n∈N^*），则数列{a_n}为等比数列；
②若数列{a_n}为等差数列，则数列{2${\;}^{{a}_{n}}$}为等比数列；
③若数列{a_n}为等比数列，则数列log_aa_n（a＞0，a≠1）为等差数列．

Answer 1

分析 在①中，由等比数列的概念得数列{a_n}为等比数列；
在②中，由$\frac{{2}^{{a}_{n+1}}}{{2}^{{a}_{n}}}=\frac{{2}^{{a}_{n}+d}}{{2}^{{a}_{n}}}$=d，得数列{2${\;}^{{a}_{n}}$}为等比数列；
在③中，当q＜0时，{数列log_aa_n（a＞0，a≠1）}不是等差数列．

解答 解：①若数列{a_n}满足a_n+1=2a_n（n∈N^*），
则由等比数列的概念得数列{a_n}为等比数列，故①正确；
②若数列{a_n}为等差数列，
则$\frac{{2}^{{a}_{n+1}}}{{2}^{{a}_{n}}}=\frac{{2}^{{a}_{n}+d}}{{2}^{{a}_{n}}}$=d，∴数列{2${\;}^{{a}_{n}}$}为等比数列，故②正确；
③若数列{a_n}为等比数列，a＞0，a≠1，
则数列log_aa_n+1-log_aa_n=（log_aa₁+nlog_aq）-[log_aa₁+（n-1）log_aq]=log_aq，
当q＞0时，{数列log_aa_n（a＞0，a≠1）}为等差数列，
当q＜0时，{数列log_aa_n（a＞0，a≠1）}不是等差数列．故③错误．
故答案为：①②．

点评 本题考查等差数列和等比数列的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的定义的合理运用．