题目内容
已知圆O的圆心在y轴上，截直线l1：3x+4y+3=0所得弦长为8，且与直线l2：3x-4y+37=0相切，求圆O的方程．
分析：设出圆心与半径，利用圆截直线的弦长、半径、弦心距满足勾股定理，以及圆与直线l2相切，列出方程求出圆的圆心与半径，即可得到圆的方程．
解答：解：设圆心M（0，b），半径R．圆M交L1于AB两点．AB=8，
做MN⊥L1，交L1于N点．则N平分AB． AN=4，
连AM，则AM=R．
|MN|=
=
，
|AN|2+|MN|2=R2=16+
，
点M到直线L2距离d=R（圆M与直线L2相切），
d2=R2=
，
∴16+
=
，
16×25=（37-3b+4b+3）（37-4b-4b-3），
8b=34-16×
=24，
b=3，
R2=
=25，
∴圆M的方程为：x2+（y-3）2=25．
做MN⊥L1，交L1于N点．则N平分AB． AN=4，
连AM，则AM=R．
|MN|=
| |4b+3| | ||
|
| |4b+3| |
| 5 |
|AN|2+|MN|2=R2=16+
| (4b+3)2 |
| 25 |
点M到直线L2距离d=R（圆M与直线L2相切），
d2=R2=
| (37-4b)2 |
| 25 |
∴16+
| (4b+3)2 |
| 25 |
| (37-4b)2 |
| 25 |
16×25=（37-3b+4b+3）（37-4b-4b-3），
8b=34-16×
| 25 |
| 40 |
b=3，
R2=
| (37-4×3)2 |
| 25 |
∴圆M的方程为：x2+（y-3）2=25．
点评：本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，注意圆心坐标的设法，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．
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