Question

【题目】已知函数.

（1）若，求的单调区间；

（2）若函数存在唯一的零点，且，则的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 函数在上单调递增，在上单调递减.(2) .

【解析】

（1）先求得函数的导数，然后利用导数的正负求出函数的单调区间.（2）先令，得，构造函数，对分成三类，利用导数研究函数的单调区间，根据函数存在唯一的零点，且，列不等式，解不等式求得的取值范围.

（1），

令，解得.

当时，；当时，.

故函数在上单调递增，在上单调递减.

（2）令，可得，令，且，

本题等价于函数存在唯一的零点，且 .

当时，，解得，函数有两个零点，不符合题意，

当时，，令，解得或，

当时，函数 在上单调递增，在上单调递减，

又，又，，所以函数存在负数零点，不符合题意

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

又，故，解得 ，

综上，的取值范围为.