题目内容

数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a_n²+6a_n+6（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设b_n= $数学公式$ - $数学公式$ ，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：- $数学公式$ ≤T_n＜- $数学公式$ ．

（I）解：由a_n+1=a_n²+6a_n+6得：a_n+1+3=（a_n+3）²
两边同时取对数得：lg（a_n+1+3）=2lg（a_n+3）
∴数列{lg（a_n+3）}是以lg（a₁+3）=lg5为首项以2为公比的等比数列
∴lg（a_n+3）=lg5•2^n-1∴a_n= $\text{[math]}$ -3 …（4分）
（II）证明：∵a_n²+6a_n=a_n+1-6，
∴b_n= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ …（6分）
∴T_n= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ …（9分）
∵n≥1，∴2ⁿ≥2，∴ $\text{[math]}$ ≥25
∴ $\text{[math]}$ -9≥16，∴0＜ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$
∴- $\text{[math]}$ ≤- $\text{[math]}$ ＜0，
∴- $\text{[math]}$ ≤- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＜- $\text{[math]}$
∴- $\text{[math]}$ ≤T_n＜- $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（I）确定数列{lg（a_n+3）}是以lg（a₁+3）=lg5为首项，以2为公比的等比数列，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（II）确定数列的通项，再求和，从而可得结论．
点评：本题考查数列与不等式的综合，考查等比数列的通项，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．