Question

7．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A₁B₁的中点，F是BB₁上的动点，AB₁，DF交于点E，要使AB₁⊥平面C₁DF，则线段B₁F的长为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 作DE⊥AB₁交AB₁于E，延长DE交BB₁于F，连接C₁F，则AB₁⊥平面C₁DF，点FB₁B的中点即为所求，由C₁D⊥平面AA₁BB，AB₁?平面AA₁B₁B，则C₁D⊥AB₁，AB₁⊥DF，DF∩C₁D=D，满足线面垂直的判定定理，则AB₁⊥平面C₁DF

解答 解：作DE⊥AB₁交AB₁于E，延长DE交BB₁于F，连接C₁F，则AB₁⊥平面C₁DF，点F即为所求．
∵C₁D⊥平面AA₁B₁B，AB₁?平面AA₁B₁B，
∴C₁D⊥AB₁．又AB₁⊥DF，DF∩C₁D=D，
∴AB₁⊥平面C₁DF．
四边形AA₁B₁B为正方形，此时点F为B₁B的中点．
如图则有△AA₁B₁∽DB₁F，即$\frac{A{A}_{1}}{D{B}_{1}}=\frac{{A}_{1}B}{{B}_{1}F}$⇒${B}_{1}F=\frac{1}{2}$．
故选：A

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定．应熟练记忆直线与平面垂直的判定定理，属于中档题．