Question

过双曲线x²-y²=1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，记双曲线渐近线的方向向量为v，当在v方向上的投影的绝对值为时，求直线l的方程.

Answer 1

解:由已知，F(,0)，双曲线的渐近线y=±x的方向向量为v=(1,±1),当l斜率不存在时，不失一般性，取A[,-1],B[,1],则在v上的投影的绝对值为||cos45°=2×,不合题意 

所以l的斜率k存在，其方程为y=k(x-).

由得(k²-1)x²-2k²x+2k²+1=0(k²≠1)

设A(x₁,k(x₁-))、B(x₂,k(x₂-)),则

x₁+x₂=,x₁x₂=.

当v=(1,1)时，设与v的夹角为θ,则

=[x₂-x₁,k(x₂-x₁)]在v上投影的绝对值

|||cosθ|=||

=

=.

由,得2k²-5k+2=0,k=2或k= 

根据双曲线的对称性知，当

v=(1,-1)时，k=-2或k=-.

所以直线l的方程为

y=±2(x-)或y=±(x-).