Question

4．在直角坐标系xOy中，已知A（-3，0），B（3，0），动点C（x，y），若直线AC，BC的斜率k_AC，k_BC满足条件${k_{AC}}•{k_{BC}}=-\frac{4}{9}$．
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）已知${F_1}（-\sqrt{5}，0），{F_2}（\sqrt{5}，0）$，问：曲线C上是否存在点P满足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$？若存在求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出直线AC，BC的斜率k_AC，k_BC，通过${k_{AC}}•{k_{BC}}=-\frac{4}{9}$．求出动点C的轨迹方程．
（2）利用数量积为0，求出P的方程，然后与椭圆方程联立，求出交点坐标即可．

解答 （本小题满分14分）
解：（1）${k_{AC}}=\frac{y}{x+3}$（x≠-3），${k_{BC}}=\frac{y}{x-3}$（x≠3）
又${k_{AC}}•{k_{BC}}=-\frac{4}{9}$，∴$\frac{y}{x+3}•\frac{y}{x-3}=-\frac{4}{9}$（3分）
化简整理得$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$（x≠±3）（6分）
（2）设曲线C上存在点P（x，y）满足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$$\overrightarrow{P{F_1}}=（-\sqrt{5}-x，-y）$   $\overrightarrow{P{F_2}}=（\sqrt{5}-x，-y）$
∴$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}={x^2}-5+{y^2}=0$（9分）
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=5\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=\frac{9}{5}\\{y^2}=\frac{16}{5}\end{array}\right.$（12分）
∴存在四个点满足条件，它们是：$（{\frac{3}{5}\sqrt{5}，\frac{4}{5}\sqrt{5}}）$，$（{-\frac{3}{5}\sqrt{5}，\frac{4}{5}\sqrt{5}}）$，$（{\frac{3}{5}\sqrt{5}，-\frac{4}{5}\sqrt{5}}）$，$（{-\frac{3}{5}\sqrt{5}，-\frac{4}{5}\sqrt{5}}）$（14分）

点评 本题考查轨迹方程的求法，圆锥曲线之间的关系的综合应用，考查计算能力．