Question

已知函数的定义域为，值域为[-5，4]．
（Ⅰ）求m、n的值；
（Ⅱ）在△ABC中，，求函数的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函数的恒等变换求出函数f（x）的解析式为，分m＞0和m＜0两种情况，根据函数的定义域求出值域，结合值域求出m、n的值．
（2）根据 ，得，分m=3，n=-2和m=-3，n=1两种情况，根据B的范围求出sinB的范围，从而求出函数的值域．
解答：解：（1）∵=
=，
由 可得，，，
若m＞0，f（x）∈[-m+n，2m+n]，则，∴m=3，n=-2．
若m＜0，f（x）∈[2m+n，-m+n]，则，m=-3，n=1．
（2）∵，∴．
当m=3，n=-2时，=2sinB+cos2B+3=-2sin²B+2sinB+4=．
∵，∴sinB∈（0，1]，．
当m=-3，n=1时，=-sinB+cos2B-3=-2sin²B-sinB-2=．
∵，
∴sinB∈（0，1]，y∈[-5，-2）．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，用待定系数法求函数的解析式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．