Question

【题目】已知向量 =（3，﹣1），| |= ， =﹣5， =x +（1﹣x） ．
（Ⅰ）若 ，求实数x的值；
（Ⅱ）当| |取最小值时，求 与 的夹角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设 =（m，n），
∴ ，
解得 或 ，
当 =（﹣1，2）时，
∴ =x（3，﹣1）+（1﹣x）（﹣1，2）=（4x﹣1，2﹣3x），
∵ ，
∴3（4x﹣1）﹣（2﹣3x）=0，
解得x= ，
当 =（﹣2，﹣1）时，
∴ =x（3，﹣1）+（1﹣x）（﹣2，﹣1）=（5x﹣2，﹣1），
∵ ，
∴3（5x﹣2）+1=0，
解得x= ，
（Ⅱ）设 与 的夹角θ
由（Ⅰ）可知，当 =（﹣1，2）时， =（4x﹣1，2﹣3x），
则| |2=（4x﹣1）2+（2﹣3x）2=25x2﹣20x+5=25（x﹣ ）2+1，
当x= 时，| |取最小值，则| |=1， =（ ， ），
∴ =﹣ + =1，| |=
∴cosθ= =
当 =（﹣2，﹣1）时， =（5x﹣2，﹣1），
则| |2=（5x﹣2）2+（﹣1）2=25（x﹣ ）2+1，
当x= 时，| |取最小值，则| |=1， =（0，﹣1），
∴ =1，| |=
∴cosθ= =
【解析】（Ⅰ）根据向量的数量积和向量的模，先求出 ，再根据向量的垂直即可求出x的值，（Ⅱ）根据二次函数的性质即可求出x的值，再根据向量的夹角公式即可求出．