Question

（本小题满分12分）

如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，点分别是和的中点．

求证：平面；

若, 四棱锥外接球的表面积．

 

Answer 1

【答案】

（1）取PD的中点G，连接FG，GA，GF//DC，GF＝DC，AE＝AB，矩形ABCD中，AB//DC，AB＝DC，∴GF//AE，GF＝AE?∴四边形AEFG是平行四边形，EF//AG，EF在平面PDA外，AG在平面PDA内，

∴EF//平面PDA．（2）6

【解析】

试题分析：（1）取PD的中点G，连接FG，GA，由G、F分别是PD、PC的中点，知GF是△PDC的中位线，

GF//DC，GF＝DC，

E是AB中点，AE＝AB，

矩形ABCD中，AB//DC，AB＝DC，

∴GF//AE，GF＝AE?                            ……………………3分

∴四边形AEFG是平行四边形，EF//AG，

EF在平面PDA外，AG在平面PDA内，

∴EF//平面PDA．                                ……………………6分

（2）由图易知AB⊥平面PAD，四棱锥P-ABCD的 外接球即以DP,DA,DC为棱的长方体的外接球。

∴R=，∴S=4=6。           ……………………12分

考点：线面平行的判定及锥体的外接球

点评：本题在证明线面平行时充分利用已知中出现的中点作出三角形中位线即可实现直线间的平行，此三棱锥是长方体一部分，其外接球转化为长方体外接球求解较容易