Question

函数f（x）=x-lnx，x∈[

1

e

，e]的值域为______．（其中e≈2.71828L为自然底数）

Answer 1

函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，
当x＞1时f'（x）＞0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，所以当x=1时，函数取得极小值f（1）=1．
由于在[

1

e

，e]上只有一个极小值，所以也是最小值．
f（e）=e-lne=e-1，f(

1

e

)=

1

e

-ln

1

e

=

1

e

+1，因为f(e)＞f(

1

e

)，所以最大值为f（e），
所以1≤f（x）≤e-1，即函数的值域是[1，e-1]．
故答案为：[1，e-1]．