Question

（本题满分16分）第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分6分．

某同学将命题“在等差数列中，若，则有（）”改写成：“在等差数列中，若，则有（）”，进而猜想：“在等差数列中，若，则有（）.”

（1）请你判断以上同学的猜想是否正确，并说明理由；

（2）请你提出一个更一般的命题，使得上面这位同学猜想的命题是你所提出命题的特例，并给予证明.

（3）请类比（2）中所提出的命题，对于等比数列，请你写出相应的命题，并给予证明.

Answer 1

解：（1）命题“在等差数列中，若，则有（）”正确.

证明：设等差数列的首项为，公差为，由得:

=，所以命题成立.   （4分）

（2）解法一：在等差数列中，若，则有（）.显然，当时为以上某同学的猜想. （7分）

证明：设等差数列的首项为，公差为，由得，所以命题成立.              （10分）

（3）解法一：在等比数列中，

若，则有（）.（13分）

证明：设等比数列的首项为，公比为，由（）得，

，所以命题成立.（16分）

（2）解法二：在等差数列中，若，且

则有

（）.

显然，当时为某同学的猜想（7分）

证明：设等差数列的首项为，公差为，由

，且

得

=

=

=，所以命题成立。                          （10分）

（3）解法二：在等比数列中，若，且

，则有

（）.      （13分）

证明：设等比数列的首项为，公比为，由

，且

得，

==，所以命题成立.       （16分）

得到以下一般命题不得分（）：

（1）在等差数列中，若，则有.

类比：在等比数列中，若，则有.

（2）在等差数列中，若，则有.

类比：在等比数列中，若，则有.

（3）在等差数列中若,,则有.

类比：在等比数列中，若，则有.

（4）在等差数列中，若，，则有.

类比：在等比数列中，若，，则有.