Question

已知函数的定义域为，且满足条件：①，②③当．

（1）求证：函数为偶函数；

（2）讨论函数的单调性；

（3）求不等式的解集

Answer 1

解：（1）在①中令x=y=1, 得f（1）= f（1）+ f（1） f（1）=0,

       令x=y=－1, 得f（1）= f（－1）+ f（－1） f（－1）=0,

       再令y=－1, 得f（－x）= f（x）+ f（－1） f（x）, ∴f（x）为偶函 数；

   （2）在①中令

        先讨论上的单调性， 任取x₁x₂，设x₂>x₁>0，

       

        由③知：>0，∴f（x₂）>f（x₁）， ∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，

        ∵偶函数图象关于y轴对称 ，∴f（x）在（－∞，0）上是减函数；

   （3）∵f[x（x－3）]= f（x）+ f（x－3）≤2， 由①②得2=1+1= f（2）+ f（2）= f（4）= f（－4），

        1）若x（x－3）>0 , ∵f（x）在（0，+∞）上为增函数，

        由f[x（x－3）] ≤f（4） 得

        2）若x（x－3）<0, ∵f（x）在（－∞，0）上为减函数；

        由f[x（x－3）] ≤f（－4）得 

        ∴原不等式的解集为：