Question

设长为a、b、c的三条线段可以构成锐角三角形.证明存在一个对棱相等且棱长分别为a、b、c的四面体并计算其体积.

Answer 1

证明:

由已知条件得a²+b²-c²＞0，b²+c²-a²＞0,c²+a²-b²＞0.?

令x=,y=,z=.?

分别以x、y、z为过同一顶点的棱长作长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁,则A₁D=BC₁=a,AB₁=C₁D=b,BD=?A₁C₁=c,?

∴四面体C₁—A₁BD符合题意，其体积等于长方体体积减去四个直角四面体的体积.?

∴V=xyz-4×xyz=xyz?

=.

点评:本题关键是将长为a、b、c的锐角三角形与长方体过某顶点的截面三角形类比，构造出完整图形后，证明其符合条件.