Question

设长为a、b、c的三条线段可以构成锐角三角形．证明存在一个对棱相等且棱长分别为a、b、c的四面体并计算其体积．

Answer 1

答案：
解析：

证明：由已知条件得a2＋b2－c2＞0，b2＋c2－a2＞0，c2＋a2－b2＞0． 　　令x＝， 　　y＝， 　　z＝． 　　分别以x、y、z为过同一顶点的棱长作长方体ABCD－A1B1C1D1，则A1D＝BC1＝a，AB1＝C1D＝b，BD＝A1C1＝c， 　　∴四面体C1－A1BD符合题意，其体积等于长方体体积减去四个直角四面体的体积． 　　∴＝xyz－4×xyz＝xyz 　　＝． 　　点评：本题关键是将长为a、b、c的锐角三角形与长方体过某顶点的截面三角形类比，构造出完整图形后，证明其符合条件．