Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA₁⊥AC₁．
（1）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求点C到平面A₁AB的距离．

Answer 1

分析：（1）BC⊥AC，根据A₁D⊥底ABC，得到A₁D⊥BC，A₁D∩AC=D，所以BC⊥面A₁AC，从而BC⊥AC₁，又因BA₁⊥AC₁，BA₁∩BC=B，根据线面垂直的判定定理可知AC₁⊥底A₁BC；
（2）作DE⊥AB于点E，连A₁E作DF⊥A₁E，A₁D⊥AB，DE⊥AB，DE∩A₁D=D，满足线面垂直的判定定理则AB⊥平面A₁DE，又DF?面A₁DE，所以AB⊥DF，A₁E∩AB=E，DF⊥平面A₁AB，在Rt△A₁DE中，从而求出DF的长度，而D是AC中点，所以C到面A₁AB距离是2DF．

解答：证明：（1）∠BCA=90°得BC⊥AC，因为A₁D⊥底ABC，
所以A₁D⊥BC，（2分）A₁D∩AC=D，所以BC⊥面A₁AC，
所以BC⊥AC₁（3分）
因为BA₁⊥AC₁，BA₁∩BC=B，
所以AC₁⊥底A₁BC（1分）
解：（2）作DE⊥AB于点E，连A₁E作DF⊥A₁E，
因为A₁D⊥平面ABC，所以A₁D⊥AB，DE⊥AB，DE∩A₁D=D，
所以AB⊥平面A₁DE，（2分）
又DF?面A₁DE，所以AB⊥DF，A₁E∩AB=E，
所以DF⊥平面A₁AB，（2分）Rt△A₁DE中，DF=

A1D•DE

A1E

=

21

7

，
因为D是AC中点，所以C到面A₁AB距离

2 21

7

．（2分）

点评：本题主要考查了线面垂直的判定，以及点到面的距离等有关知识，同时考查了数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．