Question

设椭圆的左、右顶点分别为A、B，点P在椭圆上且异于A、B两点，O为坐标原点．
（1）若直线AP与BP的斜率之积为-，求椭圆的离心率；
（2）对于由（1）得到的椭圆C，过点P的直线l交x轴于点Q（-1，0），交y轴于点M，若，求直线l的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定直线AP与BP的斜率，利用直线AP与BP的斜率之积为-，点P在椭圆上，即可求椭圆的离心率；
（2）设出直线l的方程，利用，求得P的坐标，利用点P在椭圆上，即可求得结论．
解答：解：（1）由已知A（-a，0），B（a，0），设P（x，y）（x≠±a）．…（1分）
则直线AP的斜率，直线BP的斜率．
由，得．…（2分）
∴k_AP×k_AP=×…（3分）
∴，得a²=4，…（4分）
∴．…（5分）
∴椭圆的离心率．…（6分）
（2）由题意知直线l的斜率存在．…（7分）
设直线l的斜率为k，直线l的方程为y=k（x+1）…（8分）
则有M（0，k），设P（x，y）（x≠±a），由于P，M，Q三点共线，且
根据题意，得（x，y-k）=±2（x+1，y）…（9分）
解得或…（11分）
又点P在椭圆上，又由（1）知椭圆C的方程为
所以…①或…②
由①解得k²=0，即k=0，∵此时点P与椭圆左端点A重合，∴k=0舍去；            …（12分）
由②解得k²=16，即k=±4，∴直线直线l的斜率k=±4．…（14分）
点评：本小题主要考查直线斜率、椭圆的方程、离心率、向量的运算等知识，考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法，考查综合运用能力以及运算求解能力．