Question

8．已知函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）证明f（x）在区间[2，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）先求f（x）定义域为{x|x≠0}，容易得到f（-x）=-f（x），从而f（x）为奇函数；
（2）根据增函数的定义，设任意的x₁＞x₂≥2，然后作差，通分，提取公因式x₁-x₂，从而证明f（x₁）＞f（x₂），这便可得出f（x）在[2，+∞）上是增函数．

解答 解：（1）f（x）的定义域为{x|x≠0}；
f（-x）=-x-$\frac{4}{x}$=-f（x）；
∴f（x）为奇函数；
（2）证明：设x₁＞x₂≥2，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{4}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{4}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＞x₂≥2；
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞4，$1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}）＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[2，+∞）上是增函数．

点评 考查函数奇偶性的定义，以及判断函数奇偶性的方法和过程，增函数的定义，及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂．