Question

如图，已知定点A（2，0），点Q是圆x²+y²=1上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：设M、Q的坐标分别为（x，y）、（x₀，y₀），本题宜用代入法求轨迹方程，由角平分线的性质，得到

QM

MA

=

1

2

，定分比公式将Q点的坐标用点M的坐标表示出来，再代入圆的方程即可求出动点M的轨迹方程

解答：解：由三角形的内角平分线性质，得

|QM|

|MA|

=

|OQ|

|OA|

=

1

2

，∴

QM

MA

=

1

2

．
设则

x= x0+ 1 2 ×2 1+ 1 2 y= y0+ 1 2 ×0 1+ 1 2

∴

x0= 3 2 x-1 y0= 3 2 y

∵Q在圆x²+y²=1上，∴x₀²+y₀²=1，
∴(

3

2

x-1)2+(

3

2

y)2=1
∴动点M的轨迹方程为(x-

2

3

)2+y2=

4

9

点评：本题考查直线与圆方程的应用，是一个求轨迹方程的问题求解本题的关键是找到M，Q这两个点的坐标之间的关系，用代入法求轨迹方程，代入法适合求这样的点的轨迹方程，如本题一个点的轨迹方程已知，而要求轨迹方程的点的坐标与这个点有固定的关系．其步骤：用未知点的坐标表示已知点的坐标，代入已知的轨迹方程，整理．