Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到几何体D-ABCE．
（Ⅰ）求证：BE⊥平面ADE．
（ II）求BD和平面ADE所成角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点．
∴AE=BE=，AB=2，
∴AE⊥BE，
又∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，
∴BE⊥平面ADE．…（6分）
（II）解：因为（Ⅰ）BE⊥平面ADE，连接EB，
所以BD和平面ADE所成角就是∠BDE，
DE=1，BE=，
BD和面CDE所成角的正弦值为：=…（6分）
分析：（Ⅰ）在矩形ABCD中，求出AE=BE=，AB=2，说明AE⊥BE，然后证明BE⊥平面ADE．
（II）通过直线与平面垂直，找出BD和平面ADE所成角，然后求出所成角的正切值．
点评：本题考查直线与平面垂直，折叠问题，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，计算能力．