Question

已知圆C：（x-2）²+（y-2）²=m，点A（4，6），B（s，t）．
（1）若3s-4t=-12，且直线AB被圆C截得的弦长为4，求m的值；
（2）若s，t为正整数，且圆C上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值λ（λ＞1），求m的值．

Answer 1

分析：（1）由点A（4，6），B（s，t）都适合3s-4t=-12，可得过A，B的直线方程为3x-4y=-12，求出圆心到该直线的距离，然后利用垂径定理求得m的值．
（2）由圆C上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值λ写出圆C的方程，利用两个圆的一次项系数相等得到s和t的关系式，再根据s，t为正整数求出s与t的具体关系，从而求出λ²的值，进一步求出s与t的值，代入所求圆的方程后即可得到m的值．

解答：解：（1）因为A（4，6），B（s，t）．
由3s-4t=-12，说明点B（s，t）适合直线3x-4y=-12，
由把A（4，6）代入直线3x-4y=-12成立，所以A，B共线3x-4y=-12，
则圆心（2，2）到直线3x-4y=-12的距离为d=

|3×2+(-4)×2+12|

32+(-4)2

=2，
又直线AB被圆C截得的弦长为4，
根据垂径定理知：m=2²+2²=8；
（2）设P（x，y）为圆C：（x-2）²+（y-2）²=m上任意一点，
则

(x-4)2+(y-6)2

(x-s)2+(y-t)2

=λ2，
整理得：（1-λ²）x²+（1-λ²）y²-（8-2λ²s）x-（12-2λ²t）y+52-λ²s²-λ²t²=0，
则该圆的方程即为（x-2）²+（y-2）²=m，
所以

4=8-2λ2s 4=12-2λ2t

①，整理得：λ²（t-s）=2，
因为s，t为正整数，且λ＞1，所以t-s=

2

λ2

≤1，
若t-s为小于等于0的整数，则λ²（t-s）=2不成立，所以，t-s=1．
则λ²=2．代入①得：s=3，t=4．
把λ²=2，s=3，t=4代入方程（1-λ²）x²+（1-λ²）y²-（8-2λ²s）x-（12-2λ²t）y+52-λ²s²-λ²t²=0，
得：（x-2）²+（y-2）²=10．
所以m=10．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系，考查了学生灵活处理和解决问题的能力，解答（1）的关键是对直线AB的方程的求解，解答（2）的关键是：想到由圆C上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值λ求出圆C的方程，利用该圆的方程与已知圆的方程比对求值，此题是难题．