题目内容
【题目】已知函数
，
.
（Ⅰ）若
与
在
处相切，试求的表达式；
（Ⅱ）若
在
上是减函数，求实数
的取值范围；
（Ⅲ）证明不等式：
.
【答案】（1）
; （2）
；（3）见解析.
【解析】【试题分析】（１）依据题设导数计算公式及导数的几何意义建立方程求解；（２）依据题设条件构造函数运用导数建立不等式，分离参数借助基本不等式求得参数的取值范围；（３）借助（２）的结论建立递推式，然后运用叠加的方法进行分析推证：
（Ⅰ）由于
与
在
处相切，
且
，
得：
又∵
，∴
，
∴.
（Ⅱ）
在
上是减函数，
∴
在上恒成立.
即
在上恒成立，由
，
，
又∵
，∴
得.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：当
时：
在上是减函数，
∴当
时，
即
，
所以
从而得到：
.
当
时：
，
当
时：
，
当
时：
，
当
时：
，
，
.
上述不等式相加得：
…+
即…+
.（，）
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