Question

某工厂从今年起，若不改善生产环境，按现状生产，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月递增2万元.如果从今年一月起投资400万元增加回收净化设备以改善生产环境（改造设备时间不计）.按测算，新设备投产后的月收入与时间的关系如图所示.

（1）设g（n）表示投资改造后的前n个月的总收入，写出g（n）的函数关系式;

（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的月累计纯收入多于不改造时的月累计纯收入?

Answer 1

解:（1）设a _i表示第i个月的收入，则由图得a ₁=101，a ₅=109，且数列{a _i}的前五项是公差为2的等差数列，第六项开始是常数列，所以g（n）=

即g（n）=

（2）不改造时的第n个月累计纯收入:S_n=68n-n²，投资改造后的第n个月累计纯收入:

①当n≤5时，纯收入为n²+100n-400，由n²+100n-400＞S_n=68n-n²，

解得n＞-8 +，由-8+＞-8 +=8，得n＞8，即前5个月不见效.

②当n＞5时，纯收入（109n-20）-400，由（109n-20）-400＞S_n=68n-n²，

得n²+41n-420＞0，解得n＞=8.

而n=9适合上述不等式.

所以，必须经过8个月后，即第9个月才见效.