Question

设函数f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx（ω＞0）的最小正周期为

2π

3

．
（1）求ω的值；
（2）当x∈[0，

π

6

]时，求f（x）的最值．
（3）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移

π

2

个单位长度得到，求y=g（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）通过三角函数的基本关系式与二倍角公式，把函数化简为 一个角的一个三角函数的形式，通过周期求出ω的值．
（2）当x∈[0，

π

6

]时，3x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，然后求出f（x）的最值．
（3）由y=f（x）的图象向右平移

π

2

个单位长度得到y=g（x）的表达式，利用正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间．

解答：解：（1）因为函数f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx
=

2

sin(2ωx+

π

4

)+2，
它的最小正周期为

2π

3

．
2ω=

2π

2π 3

=3，
所以ω=

3

2

…（4分）
（2）因为x∈[0，

π

6

]
所以3x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]…（5分）
sin(3x+

π

4

)∈[

2

2

，1]…（6分）
当3x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

12

时，ymax=2+

2

，
当3x+

π

4

=

π

4

或

3π

4

，即x=0或

π

6

时，y_min=3…（8分）
（3）f（x）=

2

sin(2ωx+

π

4

)+2，
的图象向右平移

π

2

个单位长度得到g(x)=

2

sin(3x-

5π

4

)+2…（10分）
2kπ-

π

2

≤3x-

5π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z
单调增区间是[

2π

3

+

π

4

，

2π

3

+

7

12

]，k∈Z…（12分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，周期的应用，三角函数的最值，单调增区间的求法，考查计算能力，常考题型．