Question

【题目】函数f（x）=x2﹣2x﹣3，定义数列{ xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4，5），Qn（ xn ， f（xn））的直线PQn与x轴交点的横坐标．
（1）证明：2≤xn＜xn+1＜3；
（2）求数列{ xn}的通项公式．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：①n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为

当y=0时，∴ ，∴2≤x1＜x2＜3；

②假设n=k时，结论成立，即2≤xk＜xk+1＜3，直线PQk+1的方程为

当y=0时，∴

∵2≤xk＜xk+1＜3，∴

∴xk+1＜xk+2∴2≤xk+1＜xk+2＜3

即n=k+1时，结论成立

由①②可知：2≤xn＜xn+1＜3；

（2）

解：由（1），可得

设bn=xn﹣3，∴

∴

∴ 是以﹣ 为首项，5为公比的等比数列

∴

∴

∴ ．

【解析】（1）用数学归纳法证明：①n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为 ，当y=0时，可得 ；②假设n=k时，结论成立，即2≤xk＜xk+1＜3，直线PQk+1的方程为 ，当y=0时，可得 ，根据归纳假设2≤xk＜xk+1＜3，可以证明2≤xk+1＜xk+2＜3，从而结论成立．（2）由（1），可得 ，构造bn=xn﹣3，可得 是以﹣ 为首项，5为公比的等比数列，由此可求数列{ xn}的通项公式．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)．