题目内容

（14分）设A．B为椭圆上的两个动点。

（1）若A．B满足，其中O为坐标原点，求证：为定值；

    （2）若过A．B的椭圆的两条切线的交点在直线x+2y=5上，求证直线AB恒过一个定点。

解析：证明：（1）①若OA，OB的斜率都存在时，设OA方程为，代入椭圆方程，得  同理，直线OB的方程为   +

②当直线OA．OB的斜率有一条存在另一条不存在时

或或

（2）也成立。        …………6分

设，点也在椭圆上

两式相减得，令得切线的斜率为，切线方程为 ，

再由点A在椭圆上，得过A的切线方程为            ……8分

同理过B的切线方程为：，设两切线的交点坐标为，则：

，即AB的方程为：，又，消去，得：

直线AB恒过定点。                    …………14分
练习册系列答案
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（2013•浙江模拟）如图，F1，F2是离心率为
2
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l：x=-
1
2
将线段F1F2分成两段，其长度之比为1：3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 求
F2P
•
F2Q
的取值范围．
（2013•宿迁一模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
6
3
，一条准线方程为x=
3
6
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设G，H为椭圆上的两个动点，O为坐标原点，且OG⊥OH．
①当直线OG的倾斜角为60°时，求△GOH的面积；
②是否存在以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由．

设A，B为椭圆上的两个动点．

(1)若A，B满足，其中O为坐标原点，求证：为定值；

(2)若过A，B的椭圆的两条切线的交点在直线x＋2y＝5上，求证直线AB恒过一个定点．

（本小题满分12分）

    已知椭圆的左、右两个焦点分别为F1、F2，离心率为，且抛物线与椭圆C1有公共焦点F2（1，0）。

   （1）求椭圆和抛物线的方程；

   （2）设A、B为椭圆上的两个动点，，过原点O作直线AB的垂线OD，垂足为D，求点D为轨迹方程。

 

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