Question

已知函数f（x） 满足f(x-1)=loga

x+1

3-x

(a＞0且a≠1)
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）当0＜a＜1时，解不等式f（x）≥log_a2．

Answer 1

分析：（1）设t=x-1，则x=t+1，代入条件，即可求得函数解析式；
（2）确定函数的定义域，利用奇函数的定义可得结论；
（3）当0＜a＜1时，不等式f（x）≥log_a2等价于0＜

x+2

2-x

≤2，由此可得不等式的解集．

解答：解：（1）设t=x-1，则x=t+1，
∴f（t）=loga

t+2

2-t

（a＞0且a≠1），
∴f（x）=loga

x+2

2-x

（a＞0且a≠1）；
（2）由

x+2

2-x

＞0，可得函数的定义域为（-2，2）
∵f（-x）=loga

-x+2

2+x

=-loga

x+2

2-x

=-f（x）
∴函数是奇函数；
（3）当0＜a＜1时，不等式f（x）≥log_a2等价于0＜

x+2

2-x

≤2
∴-2＜x≤

2

3

即不等式f（x）≥log_a2的解集为（-2，

2

3

]．

点评：本题考查函数解析式的确定，考查函数的奇偶性，考查解不等式，属于中档题．