Question

【题目】选修：坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为．

（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；

（Ⅱ）若曲线C经过伸缩变换后得到曲线C′，且直线l与曲线C′交于A，B两点，求|MA|+|MB|．

Answer 1

【答案】（1）（x﹣2）2+4y2=4， ，（t为参数）；（2）.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)极坐标方程化简直角坐标方程可得曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+4y2=4，利用点的坐标和倾斜角可得直线的参数方程为，（t为参数）；

(Ⅱ)利用题意求得伸缩变换之后的方程，然后利用弦长公式可得弦长为 .

试题解析：

（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，∴ρ2﹣4ρcosθ+3ρ2sin2θ=0，

∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+3y2=0，整理，得（x﹣2）2+4y2=4，

∵直线l过点M（1，0），倾斜角为，

∴直线l的参数方程为，即，（t是参数）．

（Ⅱ）∵曲线C经过伸缩变换后得到曲线C′，

∴曲线C′为：（x﹣2）2+y2=4，

把直线l的参数方程，（t是参数）代入曲线C′：（x﹣2）2+y2=4，

得：，

设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=，t1t2=﹣3，

|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|===．