Question

设平面内有

a

、

b

、

x

、

y

四个向量，满足

a

=

y

-

x

，

b

=2

x

-

y

，

a

⊥

b

，|

a

|=|

b

|=1，设θ为

x

，

y

的夹角，则cosθ=

3 10

10

．

Answer 1

分析：由向量

a

、

b

的表示

x

、

y

，结合已知条件可计算出

|x|

和

|y|

的大小，据此结合

a

•

b

=0，即(

y

-

x

)(2

x

-

y

)=0，可得

x

•

y

的值，最后利用向量数量积的定义，即可得出cosθ的值．

解答：解：由

a = y - x b =2 x - y

，得

x = a + b y =2 a + b

∵

a

⊥

b

，

|a|

=

|b|

=1
∴

a

2=

b

2=1，

a

•

b

=0，
可得

|x|

=

( a + b )2

=

2

，

|y|

=

(2 a + b)  2

=

5

∵

a

•

b

=(

y

-

x

)(2

x

-

y

)=0，即-2×2+3

x

•

y

-5=0，得

x

•

y

=3
∴

x

、

y

的夹角θ满足：cosθ=

x • y

|x| • |y|

=

3 10

10

故答案为：

3 10

10

点评：本题给出两个向量方程组，在已知一组单位向量互相垂直的情况下求另一组向量的夹角余弦值．着重考查了向量加减混合运算及其几何意义和向量数量积公式、模的公式和夹角公式，属于基础题．