Question

已知函数f（x）=x²-2x，设g(x)=

1

x

•f(x+1)．
（1）求函数g（x）的表达式及定义域．
（2）判断函数g（x）的奇偶性，并证明．

Answer 1

分析：（1）把x+1代入f（x）中，即可求得f（x+1）解析式，再代入g(x)=

1

x

•f(x+1)中即可求得函数g（x）的表达式，根据分母不为零，求得函数g（x）的定义域；
（2）求出g（-x），并判断与g（x）是否相等或互为相反数，即可求得函数的奇偶性．

解答：（1）解：由f（x）=x²-2x，得f（x+1）=x²-1．
所以g(x)=

1

x

•f(x+1)=

x2-1

x

．
其定义域为{x|x∈R且x≠0}．
（2）结论：函数g（x）为奇函数．
证明：∵g(-x)=

(-x)2-1

-x

=-g(x)，
∴函数g（x）为奇函数．

点评：本题考查代入法求函数的解析式，以及函数的奇偶性的判定，注意函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提，属中档题．