Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AC⊥BC，AC=BC=BB₁，点D是BC的中点．
（I） 求证：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）判断在线段B₁B上是否存在一点M，使得A₁M⊥B₁D？若存在，求出

B1M

B1B

的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）取B₁C₁的中点E，连接A₁E，EC，易证平面A₁EC∥平面AB₁D，从而可证得A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得需要的各点的坐标，利用向量的坐标运算即可知点M是否存在．

解答：证明：（I）取B₁C₁的中点E，连接A₁E，EC，则A₁E

∥

.

AD，EC

∥

.

B₁D，A₁E∩EC=E，B₁D∩AD=D，
∴平面A₁EC∥平面AB₁D，A₁C?平面A₁EC，
∴A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AC⊥BC，故可以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴建立空间直角坐标系，不妨设AC=BC=BB₁=1，点D是BC的中点，
则A₁（1，0，1），D（0，

1

2

，0），B₁（0，1，1），设M（0，1，h），
则

A1M

=（-1，1，h-1），

B1D

=（0，-

1

2

，-1），
∵A₁M⊥B₁D，
∴

A1M

•

B1D

=-1×0+1×（-

1

2

）+（h-1）×1=0，
∴h=

1

2

．
∴M为所在线段中点，
∴

B1M

B1B

=

1

2

．

点评：本题考查直线与平面平行的性质，考查空间向量的数量积的应用，考查分析、证明与运算能力，属于中档题．