Question

已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点. ①若线段中点的
横坐标为，求斜率的值；②若点，求证：为定值.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）①②见解析

解析试题分析：（Ⅰ）因为满足， ，   ……2分
，解得，则椭圆方程为.          ……4分
（Ⅱ）①将代入中得
,                                         ……6分

,                                                     ……7分
因为中点的横坐标为，所以，解得.         ……9分
②由（1）知，
所以            ……11分

                               ……12分

                                       ……14分
考点：本小题主要考查椭圆标准方程的求法、直线与椭圆的位置关系、韦达定理、中点坐标公式和向量的数量积的运算等综合应用，考查学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力和逻辑推理、转化能力和运算求解能力.
点评：直线与圆锥曲线的问题在高考中通常作为压轴题出现，难度较大，特别是运输量比较大，要多加练习，牢固掌握.