Question

已知函数f（x）=x³-ax²+3x，a∈R
（1）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的极值；
（2）若函数f（x）是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求f（x）的导数f′（x），当x=3时f′（x）=0，求得a的值，从而得f′（x）的解析式；再利用导函数的正负判定函数的增减性来求极值；
（2））由f（x）是R上的增函数，得f′（x）≥0恒成立，求出a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-ax²+3x，a∈R，∴f′（x）=3x²-2ax+3；
又x=3是f（x）的极值点，∴27-6a+3=0，∴a=5；
当a=5时，f′（x）=3x²-10x+3=（3x-1）（x-3），f（x）=x³-5x²+3x，
∴当x＜

1

3

时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，当

1

3

＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，
∴当x=

1

3

时，f（x）取得极大值

13

27

；又当x＞3时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
∴当x=3时，f（x）取得极小值-9；
（2））∵f（x）是R上的单调递增函数，且f′（x）=3x²-2ax+3；
∴f′（x）≥0恒成立，即3x²-2ax+3≥0，
∴

4×3×3-4a2

4×3

≥0，解得-3≤a≤3，
∴a的取值范围{a|-3≤a≤3}．

点评：本题考查了利用函数的导数来判定函数的单调性与求极值的问题，是中档题．