Question

函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，且对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）成立，当x∈（0，2]时，f（x）=-x²+1．
（Ⅰ）当x∈[4k-2，4k+2]（k∈Z）时，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求不等式f（x）＞-1的解集．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由奇函数的性质可得f（0）=0，由x∈（0，2]时，f（x）=-x²+1可求当x∈[-2，0）时f（x）=-f（-x）=x²-1，然后再由由f（x+4）=f（x），即y=f（x）是周期为4的函数，可求当x∈[4k-2，4k]时的函数f（x）=f（x-4k）及x∈（4k，4k+2]时f（x）=f（x-4k），从而 可求
（Ⅱ）当x∈（-2，2]时，由f（x）＞-1，得

-2＜x＜0 x2-1＞-1

，或

0＜x≤2 -x2+1＞-1

，或x=0可求x，然后由函数y=f（x）的周期为4，可得出f（x）＞-1的解集

解答：解：（Ⅰ）当x=0时，∵f（0）=-f（0），∴f（0）=0．…（1分）
当x∈[-2，0）时，-x∈（0，2），f（x）=-f（-x）=x²-1                                 …（3分）
由f（x+4）=f（x），知y=f（x）又是周期为4的函数，所以当x∈[4k-2，4k]时，x-4k∈[-2，0）
∴f（x）=f（x-4k）=（x-4k）²-1，…（5分）
当x∈（4k，4k+2]时x-4k∈（0，2]，∴f（x）=f（x-4k）=-（x-4k）²+1    …（7分）
故当x∈[4k-2，4k+2]（k∈Z）时，函数f（x）的解析式为

(x-4k)2-1，x∈[4k-2，4k) 0          x=4k，(k∈Z) -(x-4k)2+1，x∈(4k，4k+2]

      …（9分）
（Ⅱ）当x∈（-2，2]时，由f（x＞-1），得

-2＜x＜0 x2-1＞-1

，或

0＜x≤2 -x2+1＞-1

，或x=0．
解之，得-2＜x＜

2

，…（12分）
∵函数y=f（x）的周期为4，∴f（x）＞-1的解集为{x|4k-2＜x＜4k+

2

}（k∈Z）…（14分）

点评：本题主要考查了由函数的奇函数的性质及函数的周期性求解函数的解析式，属于函数知识的综合应用．