Question

设a为常数，a∈R，函数f（x）=x²+|x﹣a|+1，x∈R．

（1）若函数f（x）是偶函数，求实数a的值；

（2）求函数f（x）的最小值．

Answer 1

考点：

带绝对值的函数；函数奇偶性的判断．

专题：

计算题；函数的性质及应用．

分析：

（1）根据偶函数的定义，采用比较系数法，可得（x+a）²=（x﹣a）²对任意的x∈R成立，故可得a=0．

（2）分x≤a与x＞a两种情况讨论，结合二次函数的图象与性质加以分析，可得当时，函数在x=a处取得最小值，而当时，函数在x=﹣处取得最小值；当时，函数在x=处取得最小值．由此即可得到本题的答案．

解答：

解：（1）∵函数f（x）为偶函数，∴对任意的x∈R都有f（﹣x）=f（x），

即（﹣x）²+|﹣x﹣a|+1=x²+|x﹣a|+1，对任意的x∈R都有|x+a|=|x﹣a|，

也就是（x+a）²=（x﹣a）²对任意的x∈R成立，故4ax=0恒成立，可得a=0．

（2）①当x≤a时，．

若，则函数f（x）在（﹣∞，a]上单调递减．

所以函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为f（a）=a²+1．

若，则函数f（x）在上单调递减，在上单调递增．

所以函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为．

②当x＞a时，．

若，则函数f（x）在上单调递减，在单调递增．

所以函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为．

若，则函数f（x）在[a，+∞）单调递增．

所以函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）=a²+1．

综上所述，可得

当时，函数f（x）的最小值是；当时，函数f（x）的最小值是a²+1；

当时，函数f（x）的最小值是．

点评：

本小题主要考查偶函数的概念，考查二次函数的单调性、最值等基础知识以及运算求解能力、分类讨论思想等知识，属于中档题．