Question

设a为常数，a∈R，函数f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R．
（1）若函数f（x）是偶函数，求实数a的值；
（2）求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据偶函数的定义，采用比较系数法，可得（x+a）²=（x-a）²对任意的x∈R成立，故可得a=0．
（2）分x≤a与x＞a两种情况讨论，结合二次函数的图象与性质加以分析，可得当-

1

2

＜a≤

1

2

时，函数在x=a处取得最小值，而当a≤-

1

2

时，函数在x=-

1

2

处取得最小值；当a＞

1

2

时，函数在x=

1

2

处取得最小值．由此即可得到本题的答案．

解答：解：（1）∵函数f（x）为偶函数，∴对任意的x∈R都有f（-x）=f（x），
即（-x）²+|-x-a|+1=x²+|x-a|+1，对任意的x∈R都有|x+a|=|x-a|，
也就是（x+a）²=（x-a）²对任意的x∈R成立，故4ax=0恒成立，可得a=0．
（2）①当x≤a时，f(x)=x2-x+(1+a)=(x-

1

2

)2+(

3

4

+a)．
若a≤

1

2

，则函数f（x）在（-∞，a]上单调递减．
所以函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（a）=a²+1．
若a＞

1

2

，则函数f（x）在(-∞，

1

2

]上单调递减，在(

1

2

，a]上单调递增．
所以函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f(

1

2

)=

3

4

+a．
②当x＞a时，f(x)=x2+x+(1-a)=(x+

1

2

)2+(

3

4

-a)．
若a≤-

1

2

，则函数f（x）在[a，-

1

2

]上单调递减，在(-

1

2

，+∞)单调递增．
所以函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f(-

1

2

)=

3

4

-a．
若a＞-

1

2

，则函数f（x）在[a，+∞）单调递增．
所以函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）=a²+1．
综上所述，可得
当a≤-

1

2

时，函数f（x）的最小值是

3

4

-a；当-

1

2

＜a≤

1

2

时，函数f（x）的最小值是a²+1；
当a＞

1

2

时，函数f（x）的最小值是

3

4

+a．

点评：本小题主要考查偶函数的概念，考查二次函数的单调性、最值等基础知识以及运算求解能力、分类讨论思想等知识，属于中档题．