Question

11．已知a∈R，函数f（x）=（-x²+ax）•e^x．
（1）a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（-1，1）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出a=2的函数f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（2）求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0在（-1，1）上恒成立，即为a-x²+（a-2）x≥0，即有x²-（a-2）x-a≤0，再由二次函数的图象和性质，得到不等式组，即可解得a的范围．

解答 解：（1）a=2时，f（x）=（-x²+2x）•e^x的导数为
f′（x）=e^x（2-x²），
由f′（x）＞0，解得-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$，
由f′（x）＜0，解得x＜-$\sqrt{2}$或x＞$\sqrt{2}$．
即有函数f（x）的单调减区间为（-∞，-$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，+∞），
单调增区间为（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
（2）函数f（x）=（-x²+ax）•e^x的导数为
f′（x）=e^x[a-x²+（a-2）x]，
由函数f（x）在（-1，1）上单调递增，
则有f′（x）≥0在（-1，1）上恒成立，
即为a-x²+（a-2）x≥0，即有x²-（a-2）x-a≤0，
则有1+（a-2）-a≤0且1-（a-2）-a≤0，
解得a≥$\frac{3}{2}$．
则有a的取值范围为[$\frac{3}{2}$，+∞）．

点评 本题考查函数的单调性的判断和运用，同时考查导数的运用：求单调区间和判断单调性，属于中档题和易错题．