Question

已知数列{a_n}，，若以a₁，a₂，…，a_n为系数的二次方程都有根α，β，且满足3α-αβ+3β=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）将α+β=，αβ=代入3α-αβ+3β=1，得a_n=a_n-1+，故=，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由，知，令T_n=．利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．
解答：解：（Ⅰ）∵将α+β=，αβ=代入3α-αβ+3β=1，
得a_n=a_n-1+，（2分）
∴=，
∴=为定值．又a₁-=，
∴数列{a_n-}是首项为，公比为的等比数列．（5分）
∴a_n-=×（）^n-1=（）ⁿ，
∴a_n=（）ⁿ+．（6分）
（Ⅱ）∵，
∴，（7分）
令T_n=．①
②
①-②得，，
∴，（11分）
∴．（12分）
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．