Question

如图：在△ABC中，

OC

=

1

4

OA

，

OD

=

1

2

OB

，AD与BC交于点M，设

OA

=

a

，

OB

=

b

（1）若

OM

=m

a

+n

b

（m，n∈R），求m，n的值；
（2）在线段AC上取一点E，线段BD上取一点F，使得EF过点M，设

OE

=λ

OA

，

OF

=μ

.

OB

，求证：μ+3λ=7λμ．

Answer 1

分析：（1）根据C，M，B三点共线，可得存在非零实数k使得

CM

=k

CB

=k(

OB

-

OC

)=k

b

-

k

4

a

，从而

OM

=

1-k

4

a

+k

b

，

OM

=m

a

+n

b

，利用平面向量基本定理可得m，n的关系，同理D，M，A三点共线，可得m，n的关系，由此即可求得m，n的值；
（2）将

FM

两次线性表示，利用平面向量基本定理，建立等式，消参，即可证得结论

解答：（1）解：∵C，M，B三点共线，∴存在非零实数k使得

CM

=k

CB

=k(

OB

-

OC

)=k

b

-

k

4

a

∴

OM

=

OC

+

CM

=

1

4

a

+k

b

-

k

4

a

=

1-k

4

a

+k

b

，
又

OM

=m

a

+n

b

∴

m= 1-k 4 n=k

⇒m=

1-n

4

…①…（3分）
又∵D，M，A三点共线，∴存在非零实数t使得

DM

=t

DA

=t(

OA

-

OD

)=t

a

-

t

2

b

∴

OM

=

OD

+

DA

=

1

2

b

+t

a

-

t

2

b

=t

a

+

1-t

2

b

，
又

OM

=m

a

+n

b

∴

m=t n= 1-t 2

⇒n=

1-m

2

…②…（6分）
由①②解得：m=

1

7

， n=

3

7

…（8分）
（2）证明：由（1）知

OM

=

1

7

a

+

3

7

b

，
∵F，M，E三点共线，∴存在非零实数t使得

FM

=t

FE

=t(

OE

-

OF

)=tλ

a

-tμ

b

∵

FM

=

OM

-

OF

=

1

7

a

+(

3

7

-μ)

b

…（10分）
∴

tλ= 1 7 -tμ= 3 7 -μ

消去t得μ+3λ=7λμ．…（13分）

点评：本题考查向量在几何中的应用，考查平面向量基本定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．