题目内容

证明：方程x·2x=1至少有一个小于1的正根．

答案：
解析：

证明　　由闭区间上连续函数必有最大值和最小值的性质，设函数f(x)在[a，b]上连续，其最小值为m，最大值为M，若m＜c＜M，则在(a，b)上至少有一个x0，使x=x0时f(x)=c．

　　令f(x)=x·2x-1且f(x)在[0，1]上连续，当x=0时，f(x)=-1＜0；当x=1时，f(x)=1×2-1=1＞0

　　又-1＜0＜1，所以在(0，1)内至少有一个x0，使x=x0时，f(x)=0，即至少有一个x0，满足0＜x0＜1，且f(x0)=0．

故方程x·2x=1至少有一个小于1的正根


练习册系列答案
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（1）证明：函数f（x）=x+
2
x
在（0，
2
]上是减函数，在[
2
，+∞）上是增函数；
（2）试讨论方程x+
2
x
=a，（x∈（1，2]，a∈R）的解的个数．
（A类）定义在R上的函数y=f（x），对任意的a，b∈R，满足f（a+b）=f（a）•f（b），当x＞0时，有f（x）＞1，其中f（1）=2
（1）求f（0）、f（-1）的值；  （2）证明y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．
（B类）已知定义在R上的奇函数f(x)= 
-2x+b
2x+1+a
．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式-m2+(k+2)m-
3
2
＜f(x)＜m2+2km+k+
5
2
对一切实数x及m恒成立，求实数k的取值范围；
（3）定义：若存在一个非零常数T，使得f（x+T）=f（x）对定义域中的任何实数x都恒成立，那么，我们把f（x）叫以T为周期的周期函数，它特别有性质：对定义域中的任意x，f（x+nT）=f（x），（n∈Z）．若函数g（x0是定义在R上的周期为2的奇函数，且当x∈（-1，1）时，g（x）=f（x）-x，求方程g（x）=0的所有解．
当a＞0时，函数f（x）=ax+
x-2
x+1
在（-1，+∞）是增函数，用反证法证明方程ax+
x-2
x+1
=0没有负数根．

证明：方程x·2x=1至少有一个小于1的正根．

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