Question

【题目】已知函数，a，bR.

（1）若a＝1，求关于x的不等式的解集；

（2）若，讨论函数的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）(0，)；（2）具体见解析.

【解析】

（1）由已知表示函数的解析式，求导分析单调性，再联系不等式的性质求解；

（2）求导分析此时函数单调性，表示出其极小值，讨论极小值大于零、等于零与小于零的不同情况时对应的函数零点个数.

（1）a＝1时，，，

当x＞﹣2时，，所以在区间(﹣2，)上单调递增，

由得x＞0；

当x≤﹣2时，，此时，

综上可得，不等式的解集为(0,)；

（2）时，，，令得x＝﹣a﹣1，列表如下：

	-	0	+
		极小值

所以，当x＝﹣a﹣1时，函数的极小值为；

①当即时，对任意xR，都有

恒成立，从而函数无零点，

②当即时，对任意xR，都有

恒成立（当且仅当x＝0时，），从而函数的零点个数为1，

③当即时，

在区间[﹣a﹣1,﹣a]上，函数图象是连续不断的一条曲线，其中

，函数在区间[﹣a﹣1，)上单调递增，所以函数在区间(﹣a﹣1,)上的零点个数为1；

在区间[4a,﹣a﹣1]上，函数图象是连续不断的一条曲线，其中,且，

令，，，所以在区间(,﹣1]上单调递减，

由a＜﹣1得，即，所以，

又因为函数在区间(,﹣a﹣1]上单调递减，所以函数在区间(,﹣a﹣1)上的零点个数为1；从而函数的零点个数为2.

综上可得，当时，函数无零点，当时，函数的零点个数为1，当时，函数的零点个数为2.