Question

四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，SO⊥底面ABCD，O在CB上．已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2

2

，SA=SB=

3

，
（Ⅰ）求证：平面SCB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求四棱锥S-ABCD的体积；
（Ⅲ）求直线SD与平面SAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）利用SO⊥底面ABCD，可证平面SCB⊥平面ABCD；
（II）利用余弦定理求得cos∠SBA，再利用三面角余弦公式求得cos∠SBA，从而求得OB，SO的长，然后利用棱锥的体积公式计算．
（III）先证明OA⊥OB，再以O点位原点建立空间直角坐标系，求得平面SAB的法向量，利用向量坐标运算求线面角的正弦．

解答：解：（ I）∵SO?平面SBC，SO⊥底面ABCD，
∴平面SCB⊥平面ABCD．
（II）∵AB=2，SA=SB=

3

，∴cos∠SBA=

4+3-3

2×2× 3

=

3

3

，
由三面角余弦公式得：cos∠SBA=cos∠SBO•cos∠ABC，即

3

3

=cos∠SBO•cos450⇒cos∠SBO=

6

3

又cos∠SBO=

OB

SB

，
∴OB=SBcos∠SBO=

3

×

6

3

=

2

又∵BC=2

2

，
∴O为BC的中点，SO=

SB2-OB2

=1，
∴VS-ABCD=

1

3

SABCD×SO=

1

3

×BC×AB×sin45°×SO=

1

3

×2

2

×2×

2

2

×1=

4

3

，
（ III）如图，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则A（

2

，0，0），B（0，

2

，0），C（0，-

2

，0），D（

2

，-2

2

，0），S（0，0，1）
则

SA

=（

2

，0，-1），

AB

=（-

2

，

2

，0）

设

n

=（x，y，z）为平面SAB的一个法向量，
由

n ⊥ SA n ⊥ AB

可得：

n • SA =0 n • AB =0

即

2 x-z=0 - 2 x+ 2 y=0

 
取x=l，得

n

=（1，1，

2

）
而

SD

=（

2

，-2

2

，-1），
设直线，SD与平面SAB所成的角为θ，
则sinθ=

| SD • n |

| SD |•| n |

=

22

11

故直线SD与平面SAB所成角的正弦值为

22

11

点评：本题考查了面面垂直的证明．考查了棱锥的体积计算，考查了利用向量坐标运算求线面角的正弦值，考查学生的空间想象能力，运算能力，综合性强．