题目内容

已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞-2x的解集为（1，3）.

（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式；

（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.

解：（1）∵f(x)+2x＞0的解集为（1，3）.f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a＜0.因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.①

由方程f(x)+6a=0得

ax2-(2+4a)x+9a=0.②

因为方程②有两个相等的根，所以Δ=［-（2+4a）］2-4a·9a=0,

即5a2-4a-1=0.解得a=1或a=.

由于a＜0,舍去a=1.将a=代入①得f(x)的解析式,

f(x)= x2-x-.

（2）由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a,

及a＜0,可得f(x)的最大值为.

由 ,解得a＜-2-或-2+＜a＜0.

故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是（-∞,-2-）∪(-2+,0).


练习册系列答案
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